RADICACION

La visión del Universo que tenían el gran sabio griego Pitágoras de Samos y sus discípulos, los llamados pitagóricos, estaba dominada por sus ideas filosóficas acerca del número. Decían que el número natural y las proporciones entre números naturales gobernaban todo cuanto existía.  Un descubrimiento hecho por los mismos pitagóricos demostró que esta afirmación era falsa. Descubrieron la existencia de un número que no era natural y tampoco se podía expresar como fracción alguna. Todo comenzó con el llamado Teorema de Pitágoras. Se llama Teorema a toda afirmación matemática importante que es demostrada de manera rigurosa, irrefutable. El Teorema de Pitágoras afirma que, en todo triángulo rectángulo, el lado mayor, llamado hipotenusa, elevado al cuadrado, es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, llamados catetos.   Se sabe que es igual al área del cuadrado cuyo cuyo lado es a (potenciación en N ). Así, lo que el Teorema de Pitágoras afirma es lo siguiente: las áreas de los cuadrados cuyos lados son a y b, al sumarse, dan el área del cuadrado cuyo lado es c. En todos los triángulos rectángulos quizás el de apariencia más sencilla fue el que produjo entre los pitagóricos la gran conmoción de presentar la existencia de una medida que no era expresable como un número natural ni como una fracción. El triángulo cuyos catetos son ambos de medida 1 fue el que originó el derrumbe de toda una teoría filosófica. El triángulo en cuestión es el de la derecha. El Teorema de Pitágoras asegura que . Usando un método muy sencillo, los pitagóricos intentaron encontrar números naturales m,n tales que , sin lograrlo nunca. La idea era la siguiente: se divide un cateto en segmentos de igual longitud (longitud u)
Se intentaba dividir la hipotenusa también en segmentos de longitud u, pero siempre sobraba un segmento de longitud menor que u:
	En vista de que había un segmento sobrante, se escogía una medida para el segmento que fuera la mitad de la medida anterior, con la esperanza de que no hubiera ningún segmento sobrante en la hipotenusa. Pero no funcionaba (ver imagen de la izquierda)
Pero no obtuvieron jamás una medida que cupiera una cantidad exacta de veces en ambos lados del triángulo. Surgió así el primer número irracional, aquel cuyo cuadrado es igual a 2. Casi 2000 años después se le dioel nombre de "raíz cuadrada de dos'' y se creó el símbolo para representar las raíces cuadradas. Si hubieran encontrado un segmento que cupiera una cantidad exacta de veces tanto en la hipotenusa como en los catetos, digamos, 13 veces en la hipotenusa y 8 veces en los catetos, se tendría que la hipotenusa medía , pues la proporción entre hipotenusa y cateto, que era , también era igual a y así obtendrían .
Se llama radicación a la operación indicada por toda expresión matemática que consista en una potencia con exponente racional, no entero. Se utiliza el símbolo , al cual se llama raíz. En los siguientes ejemplos se observa cómo será utilizado este símbolo:
Símbolo Se lee raíz cúbica de 2 raíz cuarta de un medio al cubo raíz séptima de menos cinco raíz octava de siete a la menos cinco raíz quinta de menos dos tercios a la ocho raíz sexta de cinco tercios a la menos uno raíz cuadrada de cuatro quintos
Toda la expresión que se ubica dentro del símbolo de raíz es llamada cantidad subradical, y el número que se ubica arriba y a la izquierda de la raíz es llamado el índice. Por ejemplo, en la expresión se tiene Índice=3 y Cantidad subradical=2
Cuando el índice es 2, por lo general éste se omite. Es decir, significa y se lee "raíz cuadrada de 7''. Es importante recordar ( potenciación con base en Q y exponente en Z ) que siempre podemos expresar una potencia con exponente negativo como el inverso de una potencia con exponente positivo. Por ejemplo:
(¿Por qué?) (¿Por qué?)
En general, dados cualesquiera números racionales a,b,m,n, las siguientes igualdades son válidas:
Así, algunos de los ejemplos anteriores se pueden escribir de diferentes maneras: 1. 2.
3.
ó
Las expresiones radicales como la del ejercicio 2 de la interactividad anterior pueden simplificarse transformando el exponente, que es una fracción impropia, en suma de una fracción propia más un número entero.  Por ejemplo:  Es decir Hay muchos casos de expresiones radicales que se pueden simplificar hasta el punto en que la raíz desaparece; por ejemplo: Pero como , se tiene que . en casos como estos, se dice que se trata de una raíz exacta.   Ejercicio: Encuentra 5 ejemplos de expresiones radicales que constituyen una raíz exacta. Obsérvese que, dada cualquier raíz se tiene que es decir, que el número multiplicado por sí mismo n veces, o elevado a la potencia n es igual a b. Por eso, también se tiene que , y éste es el caso de las raíces exactas que se acaban de ver. La raíz n-ésima de un número no es siempre única: en el caso de , se tiene que y . es decir, tanto 2 como -2 son raíces cuadradas de 4. Para evitar ambigüedad en la notación, cuando se escribe se refiere a la raíz positiva de 4, y para referirse a la raíz negativa, se escribe : por otra parte, , porque , y en este caso, no se puede afirmar que -2 es también raíz cúbica de 8, pues . es decir, . Debe observarse además que, mientras el índice de una raíz sea un número par, la cantidad subradical debe ser positiva para que la raíz sea un número real: No es un número real, porque ningún número real elevado al cuadrado es negativo Si, por otra parte, el índice es impar, la cantidad subradical puede ser positiva o negativa, y la raíz siempre será un número real:    y       . Se tiene ahora la siguiente definición: Dado un número racional b y un entero positivo impar n, la raíz n-ésima de b es aquel número x que, elevado a la n-ésima potencia, sea igual a b: Si n es par y b es positivo, entonces , donde x>0 es tal que . Como n es par, y -x es llamada la n-ésima raíz negativa de b. En resumen, si n es par y a>0, entonces Si n es impar y , entonces   Términos Semejantes. Se ha visto cómo aplicar las leyes de la potenciación en el cálculo con radicales. Estas leyes se refieren específicamente a productos y cocientes de potencias. Pero, ¿qué se sabe acerca de la suma y resta de potencias, que sea aplicable a la suma y resta de radicales? por ejemplo: La expresión ¿puede simplificarse de alguna manera? Al escribir esta suma usando la potenciación, se obtiene: en general, cuando se tiene: no puede decirse que es igual a . por ejemplo:      y     Así, en vista de que no existe la posibilidad de igualar las expresiones: y, entonces simplemente se deja la suma de radicales indicada, agrupando lo que se llamará términos semejantes. Cuando en una suma de radicales aparecen términos con la misma base y el mismo exponente, estos términos se denominarán semejantes. Se operará con estos términos de la manera indicada en el ejemplo siguiente: ¿puedes explicar por qué? en general, si existen términos semejantes en una suma de radicales, y algunos de ellos están multiplicados por algún número real, positivo o negativo, el cual se llama coeficiente, se suman todos los coeficientes con su signo respectivo, y se obtiene así el coeficiente del término resultante. Por ejemplo: Algunas veces es preciso hacer algunas modificaciones a las expresiones radicales.     (Aquí           y         no son términos semejantes a     ). ésta puede expresase como:   Igualmente, si se tiene la expresión .